全く無知なのでどうぞよろしくお願いします。

今年１月末に失業保険の手続きをしました。初の認定日は２月１２日です。
失業保険がもらえるのは何月ごろになりますか？

失業保険という保険はありません。
手元にしおりがありませんか？雇用保険になります。。

自己都合退職であれば、最初に認定日は、待期期間７日間の確認です。
２月１２日に待期期間経過の確認を行い、その後３か月の給付制限が始まります。
２月１２日に失業認定をしてもらうと、次回の認定日を伝えてくれます、４月末か５月初めが次回認定日になると思います。。。給付制限が終了して初めて受給開始となります。受給開始期間に入って２８日ごと失業認定を行います。
この失業認定をうけて、初めて通帳に入金がありますので、手元に入るのは５月末か６月はじめというところでしょうか。

失業保険を給付されている期間に、
自宅で出来る仕事で、個人のお客さんから収入をもらっている人がいます。
証拠は残りませんが、職安から調査されますか？
これは、不正受給になりますか？

手渡しで証拠も無ければ調査されないです。
大抵バレるのはチクるケースが多いと思います。
申告すれば不正受給にならないですが未申告なら罰せられます

会社を解雇されたため、ハローワークにて失業保険の手続きをしてもらっております。６月８日に認定日があり、その時点で14日分の受給をいただきました。残り７６日残ってます。
失業保険のみのでは、生活が困難なため、短期のアルバイトをしようと思っております。バイト期間は７月１５日から９月５日の短期のアルバイトです。この場合、アルバイトした期間の受給は停止し、アルバイト終了後また受給が再開されるんですか？どうぞよろしくお願いいたします。

週２０時間以下であればやった日にち分は繰越になって後でもらえると思います。
週２０時間以上になれば就職したとみなされる場合がありますから調整が必要です。

今、失業保険を貰っています、アルバイトをしないか？と言われています。失業保険金とアルバイト、合わせていくらまでだったらいいのでしょうか？

アルバイトの規制を参考にしてください。
＜受給中のアルバイト・パート等に関すること＞
①週２０時間未満で１日４時間以上であれば認定日にバイトした日にち分だけの基本手当日額は支給されないが、後に繰り越され、その日数分は後でもらえる。この場合はバイト収入の金額は特に指定されない。 ②週２０時間未満で１日４時間未満の場合でバイト日額から１３８８円を引いた額と、基本手当日額との「合計額」がバイト日額の８０％を超えないときは基本手当日額と基礎日数を乗じた金額が支給される。つまり通常通り支給される。
③前述の「合計額」がバイト賃金の８０％を超えるとき、超える額「超過額」を基本手当日額から引いた残りの額に基礎日数を乗じた額が支給される。
④前述の「超過額」が基本手当日額以上である場合は基礎日数分の基本手当ては支給されない。
⑤週２０時間以上になれば就職とみなされる。 (再就職手当の対象）
再就職手当の支給対象にならない形態（１年を超える見込みが無い短期的 な職業)についた場合に就業手当として基本手当日額の３０％の金額を就業日ごと に支給する。

この各項目に当てはめてみてください。

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